n阶线性齐次微分方程任意n+1个解必线性相关,就是求同大高数P326定理2的证明

Question

n阶线性齐次微分方程
任意n+1个解必线性相关,
就是求同大高数P326定理2的证明

Answer 1

设
k1x1+k2x2+……+knxn=0
为方程的任意一组解
k(n+1)x(n+1)为方程的又一个解
(1)
若存在ki≠0使上式成立,即这n个解线性相关,则n+1个解必线性相关
(2)
若ki一定全为0,则x1,x2,……,xn互不线性相关,即为n阶线性齐次微分方程的一组基,秩r=n
又有k(n+1)x(n+1)也为该方程的解
假设存在k(n+1)x(n+1)使其与x1,x2,……xn不线性相关
则齐次方程有n+1个非线性相关的解,即n阶线性齐次微分方程的秩为n+1
因为n阶线性齐次微分方程的秩≤n
可知假设不成立
则必有k(n+1)≠0,使得k1x1+k2x2+……+knxn+k(n+1)x(n+1)=0
则x(n+1)=-(k1x1+k2x2+……+knxn)/k(n+1)
k(n+1)x(n+1)可用x1,x2,……,xn线性表示,则他们线性相关
即任意n+1个解必线性相关