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数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如
题目详情
数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
▼优质解答
答案和解析
(1)故答案为:=.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,
∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中
,
∴△DEB≌△ECF,
∴BD=EF=AE,
即AE=BD,
故答案为:=.
(3)CD=1或3,
理由是:分为两种情况:①如图1
过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
BC=
,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴△AMB∽△ENB,
∴
=
,
∴
=
,
∴BN=
,
∴CN=1+
=
,
∴CD=2CN=3;
②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
BC=
,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴
=
,
∴
=
,
∴MN=1,
∴CN=1-
=
,
∴CD=2CN=1,
即CD=3或1.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,
∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中
|
∴△DEB≌△ECF,
∴BD=EF=AE,
即AE=BD,
故答案为:=.
(3)CD=1或3,
理由是:分为两种情况:①如图1
过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴△AMB∽△ENB,
∴
AB |
BE |
BM |
BN |
∴
1 |
2−1 |
| ||
BN |
∴BN=
1 |
2 |
∴CN=1+
1 |
2 |
3 |
2 |
∴CD=2CN=3;
②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴
AB |
AE |
BM |
MN |
∴
1 |
2 |
| ||
MN |
∴MN=1,
∴CN=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴CD=2CN=1,
即CD=3或1.
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