如图，在△ABC中，AB=6，BC=9，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠ABC，ED与AB的延长线交于点F．（1）求证：△DBF∽△ADF；（2）当BD=4时，求ADAC的值；（3）在第（2）题的条件下，若AC=8，求BF的长

Question

如图，在△ABC中，AB=6，BC=9，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠ABC，ED与AB的延长线交于点F．

（1）求证：△DBF∽△ADF；
（2）当BD=4时，求(AD)/(AC)的值；
（3）在第（2）题的条件下，若AC=8，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ADE=∠ABC，
∴∠ADF=∠DBF
∵∠AFD=∠BFD，
∴△DBF∽△ADF；

（2）∵在△ABC与△ADB中，
∵(AB)/(BD)=(6)/(4)=(3)/(2)，(BC)/(AB)=(9)/(6)=(3)/(2)，
∴(AB)/(BD)=(BC)/(AB)，
∵∠ABD是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴(AC)/(AD)=(AB)/(BD)=(3)/(2)；

（3）由（1）知△DBF∽△ADF，
∴(BF)/(DF)=(DF)/(AF)=(BD)/(AD)，
∵(AC)/(AD)=(3)/(2)，AC=8，
∴AD=(16)/(3)，
∴(BF)/(DF)=(DF)/(AF)=(4)/((16)/(3))=(3)/(4)，
∴DF²=BF•AF=BF（BA+BF），
∴(DF)/(AF)=(√(BF(AB+BF)))/(AB+BF)=(3)/(4)，
∴(BF)/(6+BF)=(9)/(16)，
解得：BF=(54)/(7)．