如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CE=12CD，求证：∠ACB=2∠B．

Question

如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CE=(1)/(2)CD，求证：∠ACB=2∠B．

Answer 1

证明：延长EM交AB于F，过B作BG∥EF交AD的延长线于K，交AE的延长线于G，设AK，EF交于H，连接DG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAH=∠EAH，
∵ME⊥AD，
∴∠AHF=∠AHE，
在△AFH与△AEH中，

∠FAH=∠EAH

AH=AH

∠AHF=∠AHE

，
∴△AFH≌△AEH，
∴FH=EH，
∴AH垂直平分EF，
∴AK垂直平分BG，
∴AB=AG，
∵EF∥BG，BM=CM，
∴CE=(1)/(2)CG，
∵CE=(1)/(2)CD，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠CGD，
∵∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD，
在△ABD与△AGD中，

AB=AG

∠BAD=∠GAD

AD=AD

，
∴△ABD≌△AGD，
∴∠ABC=∠AGD，
∴∠ACB=2∠B．