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如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,ME⊥AD且交AC的延长线于E,CE=12CD,求证:∠ACB=2∠B.
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如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,ME⊥AD且交AC的延长线于E,CE=
CD,求证:∠ACB=2∠B.
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▼优质解答
答案和解析
证明:延长EM交AB于F,过B作BG∥EF交AD的延长线于K,交AE的延长线于G,设AK,EF交于H,连接DG,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAH=∠EAH,
∵ME⊥AD,
∴∠AHF=∠AHE,
在△AFH与△AEH中,
,
∴△AFH≌△AEH,
∴FH=EH,
∴AH垂直平分EF,
∴AK垂直平分BG,
∴AB=AG,
∵EF∥BG,BM=CM,
∴CE=
CG,
∵CE=
CD,
∴CD=CG,
∴∠CDG=∠CGD,
∵∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD,
在△ABD与△AGD中,
,
∴△ABD≌△AGD,
∴∠ABC=∠AGD,
∴∠ACB=2∠B.
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∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAH=∠EAH,
∵ME⊥AD,
∴∠AHF=∠AHE,
在△AFH与△AEH中,
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∴△AFH≌△AEH,
∴FH=EH,
∴AH垂直平分EF,
∴AK垂直平分BG,
∴AB=AG,
∵EF∥BG,BM=CM,
∴CE=
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∵CE=
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∴CD=CG,
∴∠CDG=∠CGD,
∵∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD,
在△ABD与△AGD中,
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∴△ABD≌△AGD,
∴∠ABC=∠AGD,
∴∠ACB=2∠B.
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