如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位

Question

如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处
（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；
（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E∥BD，HG=2，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AD′E=∠D=90°，
∴∠AD′B+∠ED′C=90°，∠ED′C+∠D′EC=90°，
∴∠AD′B=∠D′EC，
∴△CD′E～△BAD′．

（2） 结论：EF⊥BD，理由如下：
如图2中，

∵△CD′E～△BAD′，
∴(D′E)/(AD′)=(CD′)/(BA)，
∵CD′=DF，AD′=AD，D′E=DE
∴(DE)/(AD)=(DF)/(BA)，∵∠EDF=∠BAD=90°，
∴△EDF∽△DAB，
∴∠FED=∠ADB，
∵∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠FED+∠BDC=90°，
∴∠DGE=90°，
∴EF⊥BD．

（3） ∵D′E∥BD，AD′⊥D′E，
∴BD⊥AD′，
∴∠GHD′=∠HD′E=∠HGE=90°，
∴四边形HGED′是矩形，
∴HG=ED′=DE=2，设EC=y，CD′=x，
易知△DGE≌△ECD′，
∴DG=CE=y，EG=CD′=HD′=x，
∵△BHD′∽△D′CE，
∴(BH)/(CD′)=(HD′)/(EC)，
∴(BH)/(x)=(x)/(y)，
∴BH=(x2)/(y)，
∴BD=BH+GH+DG=y+2+(x2)/(y)，
∵△DFE∽△CED′，
∴(DF)/(EC)=(DE)/(CD′)，
∴(x)/(y)=(2)/(x)，
∴x²=2y，
∵x²+y²=4，
∴y²+2y-4=0，
∴y=-1+√(5)或-1-√(5)（舍弃），
∴BD=-1+√(5)+2+2=3+√(5)．