已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C．（1）求证直线BO平分线段AC；（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上

Question

已知椭圆E： 的离心率为 ，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，直线AF ₁ ，AF ₂ 分别交椭圆于点B，C．
（1）求证直线BO平分线段AC；
（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足 ，试证明点Q恒在一定直线上．

Answer 1

分析：
（1）利用离心率计算公式，及b2=a2-c2=2c2，可以用c表示a，b，即可表示椭圆的标准方程，进而得到点A，F1的坐标；与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标，利用对称性即可得到点C的坐标，利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标，满足直线BO的方程即可；（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），可得，．设=λ，则，，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x1，y1，x2，y2，λ表示，进而得到2mx+3ny为常数即可．

证明：（1）由题意，，则，b2=a2-c2=2c2，故椭圆方程为，即2x2+3y2-6c2=0，其中，F1（-c，0），∴直线AF1的斜率为，此时直线AF1的方程为，联立得2x2+3cx=0，解得x1=0（舍）和，即B，由对称性知．直线BO的方程为，线段AC的中点坐标为，AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），则，．设=λ，则，，求得，，，，∴，，∴2mx+3ny====6c2，由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上．
点评：
本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量共线等基础知识与方法，需要较强的推理能力与计算能力．