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已知椭圆E:的离心率为,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.(1)求证直线BO平分线段AC;(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上
题目详情
已知椭圆E:
的离心率为
,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,直线AF 1 ,AF 2 分别交椭圆于点B,C.
(1)求证直线BO平分线段AC;
(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足
,试证明点Q恒在一定直线上.
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(1)求证直线BO平分线段AC;
(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足
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▼优质解答
答案和解析
分析:
(1)利用离心率计算公式,及b2=a2-c2=2c2,可以用c表示a,b,即可表示椭圆的标准方程,进而得到点A,F1的坐标;与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标,利用对称性即可得到点C的坐标,利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标,满足直线BO的方程即可;(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),点Q(x,y),可得,.设=λ,则,,利用向量相等即可得到m,n,x,y用x1,y1,x2,y2,λ表示,进而得到2mx+3ny为常数即可.
证明:(1)由题意,,则,b2=a2-c2=2c2,故椭圆方程为,即2x2+3y2-6c2=0,其中,F1(-c,0),∴直线AF1的斜率为,此时直线AF1的方程为,联立得2x2+3cx=0,解得x1=0(舍)和,即B,由对称性知.直线BO的方程为,线段AC的中点坐标为,AC的中点坐标满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),点Q(x,y),则,.设=λ,则,,求得,,,,∴,,∴2mx+3ny====6c2,由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上.
点评:
本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量共线等基础知识与方法,需要较强的推理能力与计算能力.
分析:
(1)利用离心率计算公式,及b2=a2-c2=2c2,可以用c表示a,b,即可表示椭圆的标准方程,进而得到点A,F1的坐标;与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标,利用对称性即可得到点C的坐标,利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标,满足直线BO的方程即可;(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),点Q(x,y),可得,.设=λ,则,,利用向量相等即可得到m,n,x,y用x1,y1,x2,y2,λ表示,进而得到2mx+3ny为常数即可.
证明:(1)由题意,,则,b2=a2-c2=2c2,故椭圆方程为,即2x2+3y2-6c2=0,其中,F1(-c,0),∴直线AF1的斜率为,此时直线AF1的方程为,联立得2x2+3cx=0,解得x1=0(舍)和,即B,由对称性知.直线BO的方程为,线段AC的中点坐标为,AC的中点坐标满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),点Q(x,y),则,.设=λ,则,,求得,,,,∴,,∴2mx+3ny====6c2,由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上.
点评:
本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量共线等基础知识与方法,需要较强的推理能力与计算能力.
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