三角形ABC中AB等于4,AC等于3,以BC为边的等边三角形BCP,求AP最大值

Question

三角形ABC中AB等于4,AC等于3,以BC为边的等边三角形BCP,求AP最大值

Answer 1

∵0°＜∠BAC＜180°,
假设∠BAC=0°,
即AB与AC重合,点B在AC上,
则有：BC=AB-AC=4-3=1；
当然三角形ABC中,BC≠1,且显然BC＞1；
假设∠BAC=180°,
即AB与AC在同一条直线上,
且点B在CA的延长线上,
则有：BC=AB+AC=4+3=7；
当然三角形ABC中,BC≠7,且显然BC＜7；
∴正三角形BCP的边长在1与7之开区间.
即：1＜BC＜7 .
设PD为正三角形BCP的高,垂足为D.
当正三角形BCP的边长BC = 1 时,
高 PD = 0.5√3（“√3 ”表示为根号3 ）,
Rt△APD中,斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2
=3.5＾2 +（0.5√3)＾2
=13, （AP＾2表示为AP的平方）
∴AP = √13 ,
当正三角形BCP的边长BC = 7 时,
高 PD = 3.5√3 ,
Rt△APD中,斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2
= 0.5＾2 + (3.5√3 )＾2
=37 ,
∴AP = √37 ,
∴AP的取值范围是 (√13 ,√37 ),
∴AP最大值为√37