己知函数f（x）=（x+l）lnx-ax+a（a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

己知函数f（x）=（x+l）lnx-ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=（x+l）lnx-ax+a，f′（x）=lnx+(1)/(x)+1-a，
若f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则a≤lnx+(1)/(x)+1在（0，+∞）恒成立，（a>0），
令g（x）=lnx+(1)/(x)+1，（x>0），
g′（x）=(x-1)/(x2)，
令g′（x）>0，解得：x>1，令g′（x）<0，解得：0<x<1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故0<a≤2；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，
即（x-1）[（x+1）lnx-a]≥0恒成立，
①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，
令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），
则m′（x）=lnx+(1)/(x)+1，
由（1）得：m′（x）≥2，
故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，
故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；
②0<x<1时，只需a≥（x+1）lnx，
令n（x）=（x+1）lnx，（0<x<1），
则n′（x）=lnx+(1)/(x)+1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，
故n′（x）>n（1）=2，
故n（x）在（0，1）递增，故n（x）<n（1）=0，
故a≥0，而a为正实数，故a>0．