当X—>0时,f（X）=（1-cosx）ln（1+2X^2)与（）是同阶无穷小量A.X^3B.X^4C.x^5D.X^2

Question

当X—>0时,f（X）=（1-cosx）ln（1+2X^2)与（ ）是同阶无穷小量 A.X^3 B.X^4 C.x^5 D.X^2

Answer 1

设(x->0)limf(x)/kx^a=1
因为1-cosx~x^2/2(x->0)
所以ln(1+2x^2)~2kx^(a-2)(x->0)
使用罗比达定理反推
先将ln(1+2x^2)求导为4x/(1+2x^2)
因为它仍为无穷小量,进一步求导为(4(1+2x^2)-16x^2)/(1+2x^2)^2
不用整理易知这不是无穷小量,x=0时,这个值为4
那么就是说ln(1+2x^2)在x=0的二阶导数为4
因为ln(1+2x^2)~2kx^(a-2)(x->0)
所以2kx^(a-2)在x=0的二阶导数为4
所以a-2=2 a=4 2*2k=4 k=1
所以(x->0)limf(x)/x^4=1
所以f(x)与x^4不仅是同阶 而且等价