平面直角坐标系中有函数y1、y2、y3，y1=ax2+bx+c（a≠0），y2=-x2+2x，y3=kx+b（k≠0），y1的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与y2的图象重合，y3经过y1与y轴的交点以及y2的顶点．（1）求y

Question

平面直角坐标系中有函数y₁、y₂、y₃，y₁=ax²+bx+c（a≠0），y₂=-x²+2x，y₃=kx+b（k≠0），y₁的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与y₂的图象重合，y₃经过y₁与y轴的交点以及y₂的顶点．
（1）求y₁和y₃的表达式；
（2）当x≥0时，试比较y₂与y₃的大小；
（3）当x<m时，y₁，y₂，y₃均随着x的增大而增大，求实数m的最大值．

Answer 1

（1）∵y₁向右平移2个单位，向上平移1个单位得到y₂，
∴y₂向左平移2个单位，向下平移1个单位得到y₁，
∵y₂=-x²+2x，
∴y₁=-（x+2）²+2（x+2）-1，
∴y₁的表达式为y₁=-x²-2x-1，
∴y₁与y轴的交点为（0，-1）．
∵y₂=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴y₂的顶点坐标为（1，1）．
∵y₃经过（0，-1）、（1，1），
∴

b=-1

k+b=1

，解得：

k=2

b=-1

，
∴y₃的表达式为y₃=2x-1．

（2）依照题意，画出函数y₂、y₃的图象，如图所示．
观察函数图象，可得：
当0≤x<1时，y₂>y₃；
当x=1时，y₂=y₃；
当x>1时，y₂<y₃．

（3）∵y₁=-x²-2x-1=-（x+1）²，y₂=-（x-1）²+1，y₃=2x-1，
∴y₁在x≤-1时随x的增大而增大，y₂在x≤1时随x的增大而增大，y₃一直都随x的增大而增大，
∴m≤-1时，y₁，y₂，y₃均随着x的增大而增大，
∴m的最大值为-1．