已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B-cos2C-sin2A=sinAsinB．（1）求角C；（2）若c=26，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．

Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB．
（1）求角C；
（2）若c=2√(6)，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．

Answer 1

（1）∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB．
sin²C-sinAsinB=sin²A+sin²B，
∴由正弦定理化简得：c²-ab=a²+b²，
∴cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，
可得：cosC=-(1)/(2)
∵0<C<π，
∴C=(2π)/(3)．
（2）设∠ADC=α，则∠CDB=π-α．
在△ADC中，由余弦定理可得：b²=22+(√(6))2-2×√(6)×2×cosα，
在△ADB中，由余弦定理可得：c²=22+(√(6))2-2×2×√(6)cos（π-α），
∴b²+c²=20，
在△ABC中，由余弦定理可得：(2√(6))2=b²+c²-2bccos(2π)/(3)，化为：b²+c²+bc=24．
∴bc=4．
∴S_△ABC=(1)/(2)bcsin(2π)/(3)=√(3)．