过双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.5

Question

过双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（　　）

A.

√(2)

B. 2

C.

√(5)

D. 5

Answer 1

设F（-c，0），渐近线方程为y=(b)/(a)x，
过左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|，
可得△AOF为等腰三角形，
即有F关于渐近线的对称点为A（m，n），
即有(n)/(m+c)=-(a)/(b)，
且(1)/(2)•n=(1)/(2)•(b(m-c))/(a)，
解得m=(b2-a2)/(c)，n=-(2ab)/(c)，
将A（(b2-a2)/(c)，-(2ab)/(c)），即（(c2-2a2)/(c)，-(2ab)/(c)），
代入双曲线的方程可得((c2-2a2)2)/(c2a2)-(4a2b2)/(c2b2)=1，
化简可得(c2)/(a2)-4=1，即有e²=5，
解得e=√(5)．
故选：C．