已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，且C的离心率e=12，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线MA交直线x=4于

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，且C的离心率e=(1)/(2)，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线MA交直线x=4于点P，过点P作直线MB的垂线交x轴于点Q，求点Q的坐标；
（3）在（2）条件下，求点P在直线MB上射影的轨迹方程．

Answer 1

（1）由题意知，椭圆右焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，
∴c=1，
∵椭圆的离心率为e=(1)/(2)，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1          （3分）
（2）设M（x，y），P（4，z），
则(MN)/(PD)=(AN)/(AD)，故z=(6y)/(x+2)．
设Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：((6y)/(x+2))/(4−x0)×(y)/(x−2)=-1，
又M在椭圆上，故x²=4-(4)/(3)y2，化简得x₀=-(1)/(2)，即Q（-(1)/(2)，0）（8分）
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，
设E为QB中点，则|HE|=(1)/(2)|QB|=(5)/(4)，E（(3)/(4)，0），
因此H点的轨迹方程为(x−(3)/(4))2+y2=(25)/(16)（y≠0）（13分）