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设f(x)+3f’(x)>0,试证明y=f(x)与X轴至多有一个交点.
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设f(x)+3f’(x)>0,试证明y=f(x)与X轴至多有一个交点.
▼优质解答
答案和解析
你应该是数学系的吧,否则这题没法严格证明.我说说证明大意：
反证法：
1.假设f(x)的零点集有稠密点.用导数定义证明f(x)在这点的导数也为零,和不等式矛盾.
2.所以 f(x) 的零点集不会有稠密点,这样存在两个f(x)的零点它们之间没有其它零点（相邻的零点）.这两点的导数都大于零（不等式）,设这两点为 a < b.在a右侧附近有函数值大于零的点c,在b点左侧有函数值小于零的点d,且 c < d.这两点函数值一正一负,所以根据零点定理,它们之间有一零点,这和a ,b之间没有零点的假设矛盾.证毕.
反证法：
1.假设f(x)的零点集有稠密点.用导数定义证明f(x)在这点的导数也为零,和不等式矛盾.
2.所以 f(x) 的零点集不会有稠密点,这样存在两个f(x)的零点它们之间没有其它零点（相邻的零点）.这两点的导数都大于零（不等式）,设这两点为 a < b.在a右侧附近有函数值大于零的点c,在b点左侧有函数值小于零的点d,且 c < d.这两点函数值一正一负,所以根据零点定理,它们之间有一零点,这和a ,b之间没有零点的假设矛盾.证毕.
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