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(2007•福州质检)如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于F.试探究线段FD、FE的数量关系,并加以证

题目详情
(2007•福州质检)如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于F.
试探究线段FD、FE的数量关系,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
FD=FE,
证明:过点D作DN⊥AB于N,连接NE.
∵DA=DB,DN⊥AB,
∴BN=AN,
过N作NE⊥AC,于点G,连接EG,
∴∠NGA=90°,
∵∠BCA=90°,
∴NG∥BC,
∵BN=AN,
∴CG=GA,
∵CE=AE,
∴EG⊥AC,
∴N、G、E在一条直线上,
∵DA⊥CA,NE⊥AC,
∴NE∥AD,
又∵DN⊥AB,EA⊥BA,
∴DN∥EA,
∴四边形DNEA是平行四边形,
∴DF=EF(平行四边形对角线互相平分).