己知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相

Question

己知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．

Answer 1

∵点B的坐标为（4，2），
∴OA=4，AB=2，OB=√(42+22)=2√(5)，OP=√(5)．
如图，当△OPC∽△OBA时，
∵(OC)/(OA)=(OP)/(OB)=(1)/(2)，即(PC)/(2)=(OC)/(4)=(1)/(2)，
∴PC=1，OC=2，
∴C₁（2，0）；
当△BPC∽△BOA时，
∵(PB)/(OB)=(BC)/(OA)=(PC)/(OA)，即(1)/(2)=(BC)/(2)=(PC)/(4)，解得BC=2，
∴AC=1-1=1，
∴C₂（4，1）；
当△OPC∽△OAB时，
∴(OP)/(OA)=(OC)/(OB)，即(√(5))/(4)=(OC)/(2√(5))，解得OC=2.5，
∴C₃（2.5，0）；
综上所述，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．