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若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=.
题目详情
若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=______.
▼优质解答
答案和解析
因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=(C1+C2 x)ex,
故 r1=r2=1为其特征方程的重根,且其特征方程为
(r-1)2=r2-2r+1,
故 a=-2,b=1.
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x,
设其特解为 y*=Ax+B,
代入y″-2y′+y=x 可得,
0-2A+(Ax+B)=x,
整理可得
(A-1)x+(B-2A)=0,
所以 A=1,B=2.
所以特解为 y*=x+2,
通解为 y=(C1+C2 x)ex +x+2.
将y(0)=2,y(0)=0 代入可得,
C1=0,C2=-1.
故所求特解为 y=-xex+x+2.
故答案为-xex+x+2.
y=(C1+C2 x)ex,
故 r1=r2=1为其特征方程的重根,且其特征方程为
(r-1)2=r2-2r+1,
故 a=-2,b=1.
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x,
设其特解为 y*=Ax+B,
代入y″-2y′+y=x 可得,
0-2A+(Ax+B)=x,
整理可得
(A-1)x+(B-2A)=0,
所以 A=1,B=2.
所以特解为 y*=x+2,
通解为 y=(C1+C2 x)ex +x+2.
将y(0)=2,y(0)=0 代入可得,
C1=0,C2=-1.
故所求特解为 y=-xex+x+2.
故答案为-xex+x+2.
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