如图，曲线c1：y2=2px（p>0）与曲线c2：（x-6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且OM•ON=0．（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是

Question

如图，曲线c₁：y²=2px（p>0）与曲线c₂：（x-6）²+y²=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且

OM

•

ON

=0．

（1）求曲线c₁的方程；
（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c₁交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．

Answer 1

（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12
所以M（6，6），…（3分）
所以6²=2p×6
所以p=3…（4分）
所以曲线为y²=6x…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因为（3，2）是AB中点
所以x₁+x₂=6，y₁+y₂=4…（6分）
则由点差法得k=(y2-y1)/(x2-x1)=(3)/(2)…（8分）
所以直线l：3x-2y-5=0
由

y2=6x

3x-2y-5=0

得y2-4y-10=0
所以由韦达定理

y1+y2=4

y1y2=-10

…（10分）
所以|AB|=√((1+(4)/(9))(16+40))=(2√(182))/(3)…（12分）