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(1)已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,猜想:∠PAC+∠PBC=°(直接写出结论,不需证明).(2)已知:如图2,Rt△ABC中,∠
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(1)已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,猜想:∠PAC+∠PBC=______°(直接写出结论,不需证明).
(2)已知:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,(1)中结论是否成立,若成立,请证明;若不成立请说明理由.
(2)已知:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,(1)中结论是否成立,若成立,请证明;若不成立请说明理由.
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答案和解析
(1)猜想:∠PAC+∠PBC=180°;
(2)结论:依然成立.
证明:连接CE.
∵E为AB中点,
∴AE=EB=EC,
∴∠EAC=∠ECA,
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°,
又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE,
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE,
∴PE=EC=AE,
∴△PAE与△PBE为等腰直角三角形,∠APB=90°,
∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°.
(2)结论:依然成立.
证明:连接CE.
∵E为AB中点,
∴AE=EB=EC,
∴∠EAC=∠ECA,
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°,
又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE,
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE,
∴PE=EC=AE,
∴△PAE与△PBE为等腰直角三角形,∠APB=90°,
∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°.
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