如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为CB上一点，且满足CD=CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．（1）若AB=10，BD=2，求CE的长；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F=30°，求证：CF=AE+

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为CB上一点，且满足CD=CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB=10，BD=2，求CE的长；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F=30°，求证：CF=AE+(√(3))/(2)DF；
（3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F=30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．

Answer 1

（1） 如图1中，设AC=CD=x．

在Rt△ACB中，AB=10，AC=x，BC=CD+BD=x+2，
∵AB²=AC²+BC²，
∴10²=x²+（x+2）²，
解得x=6或-8（舍弃），
∴AC=6．
∵(1)/(2)•AC•BC=(1)/(2)•AB•CE，
∴CE=(6×8)/(10)=(24)/(5)．

（2）证明：如图2中，作DH⊥CF于H．

∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠DCH，
在△ACE和∠CDH中，

∠CAE=∠DCH

∠AEC=∠DHC

AC=CD

，
∴△ACE≌△CDH，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=(√(3))/(2)DF，
∴CF=CH+FH=AE+(√(3))/(2)DF．

（3） 结论：CF=(√(3))/(2)DF-AE．
理由：如图3中，作DH⊥FC于H．

同法可证△DCH≌△CAE，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=(√(3))/(2)DF，
∴CF=FH-CH=(√(3))/(2)DF-AE．