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如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D。(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗
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如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D。(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标; (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么? (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)设该抛物线的解析式为 , 由抛物线与y轴交于点C(0,-3), 可知c=-3, 即抛物线的解析式为 , 把A(-1,0)、B(3,0)代入, 得 解得a=1,b=-2, ∴抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3, ∴顶点D的坐标为(1,-4); | |
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形, 理由如下:过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F, 在Rt△BOC中,OB=3,OC=3, ∴ , 在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1, ∴ , 在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2, ∴ , ∴ , 故△BCD为直角三角形; | |
(3)连接AC,可知Rt△COA∽ Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0), 过A作AP 1 ⊥AC交y轴正半轴于P 1 ,可知Rt△CAP 1 ∽ Rt△COA∽Rt△BCD, 求得符合条件的点为 , 过C作CP 2 ⊥AC交x轴正半轴于P 2 ,可知Rt△P 2 CA∽ Rt△COA∽Rt△BCD, 求得符合条件的点为P 2 (9,0), ∴符合条件的点有三个:O(0,0), ,P 2 (9,0)。 |
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