Sn=1+2x=3x^2+……+nx^n-1,求和.

Question

Sn=1+2x=3x^2+……+nx^n-1,求和.

Answer 1

类似于这种可以看成是一列等差数列与一列等比数列对应项相乘起来的数列,均可以采用错位相消法求和.
Sn=1+2x+3x^2+4x^3+.+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1) (1)式
xSn= x+2x^2+3x^3+.+(n-2)x^(n-2)+(n-1)x^(n-1)+nx^n (2)式
（相这样在式子两边同乘上一个公比,两个式子就可以像这想把同次项对齐了写,各项就与原来的位置错开了,又因为前面的系数是等差的,所以两式相减后和项系数相同,这样就形成了一个等比数列）
(1)-(2)
(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3+.+x^(n-1)-nx^n
这样前n项就可以用等比求和公式写出,再做下整理就行,但还要注意对x=1的讨论,因为整理过程需要两边同除1-x,先利用题目给的式子把x=1的Sn求出,再用你整理出来的式子求x=1时Sn的值（如果能求的话,即如果分母中不出现1-x或x-1）,若相等,则可合成一个式子写,即你整理出来的那个；若不等,那就分条件写成两个就行
（1-x)Sn=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)
把x=1代入题设给的式子（整理出来的式子明显不能求x=1的,分母为零了）,得S1=1+2+3+...+n=n(1+n)/2
所以 Sn=n(n+1)/2 ,x=1
(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x) ,其它