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如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(Ⅰ)求∠ABC;(Ⅱ)若∠A=π2,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.
题目详情
如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).
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(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A=
,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.
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(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A=
π |
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▼优质解答
答案和解析
(本题满分为12分)
(Ⅰ)在△ABC中,∵a=b(sinC+cosC),
∴sinA=sinB(sinC+cosC),…(1分)
∴sin(π-B-C)=sinB(sinC+cosC),
∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),…(2分)
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,…(3分)
∴cosBsinC=sinBsinC,
又∵C∈(0,π),故sinC≠0,…(4分)
∴cosB=sinB,即tanB=1. …(5分)
又∵B∈(0,π),
∴B=
. …(6分)
(Ⅱ)在△BCD中,DB=2,DC=1,
∴BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD. …(7分)![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_a2a950d89e78f32acf12116f50110d98.jpg)
又A=
,由(Ⅰ)可知∠ABC=
,
∴△ABC为等腰直角三角形,…(8分)
∴S△ABC=
×BC×
×BC=
BC2=
-cosD,…(9分)
又∵S△BDC=
×BD×DC×sinD=sinD,…(10分)
∴S四边形ABDC=
-cosD+sinD=
+
sin(D-
). …(11分)
∴当D=
时,四边形ABDC的面积有最大值,最大值为
+
.…(12分)
(Ⅰ)在△ABC中,∵a=b(sinC+cosC),
∴sinA=sinB(sinC+cosC),…(1分)
∴sin(π-B-C)=sinB(sinC+cosC),
∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),…(2分)
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,…(3分)
∴cosBsinC=sinBsinC,
又∵C∈(0,π),故sinC≠0,…(4分)
∴cosB=sinB,即tanB=1. …(5分)
又∵B∈(0,π),
∴B=
π |
4 |
(Ⅱ)在△BCD中,DB=2,DC=1,
∴BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD. …(7分)
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又A=
π |
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π |
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∴△ABC为等腰直角三角形,…(8分)
∴S△ABC=
1 |
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1 |
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1 |
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又∵S△BDC=
1 |
2 |
∴S四边形ABDC=
5 |
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2 |
π |
4 |
∴当D=
3π |
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