如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=π2，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Question

如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．

（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A=(π)/(2)，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Answer 1

（本题满分为12分）
（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），
∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）
∴sin（π-B-C）=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）
∴cosBsinC=sinBsinC，
又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1．    …（5分）
又∵B∈（0，π），
∴B=(π)/(4)．  …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分）
又A=(π)/(2)，由（Ⅰ）可知∠ABC=(π)/(4)，
∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）
∴S△ABC=(1)/(2)×BC×(1)/(2)×BC=(1)/(4)BC2=(5)/(4)-cosD，…（9分）
又∵S△BDC=(1)/(2)×BD×DC×sinD=sinD，…（10分）
∴S四边形ABDC=(5)/(4)-cosD+sinD=(5)/(4)+√(2)sin(D-(π)/(4))．    …（11分）
∴当D=(3π)/(4)时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为(5)/(4)+√(2)．…（12分）