如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且AF2=2F2B，

Question

如图，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0），F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B．

（1）若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且

AF2

=2

F2B

，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）若∠F₁AB=90°，则△AOF₂为等腰直角三角形．则|OA|=|OF₂|，即b=c．
∴a=√(b2+c2)=√(2)c，
椭圆的离心率e=(c)/(a)=(√(2))/(2)；
（2）由题知2c=2，c=1，则A（0，b），F₂（1，0），设B（x，y），
由

AF2

=2

F2B

，即（1，-b）=2（x-1，y），
∴

2x-2=1

2y=-b

，解得x=(3)/(2)，y=-(b)/(2)．
代入椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，即(9)/(4a2)+(1)/(4)=1解得a²=3．b²=a²-c²=2，
∴椭圆方程为(x2)/(3)+(y2)/(2)=1．