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设矩阵A,B及A+B都可逆,证明A^-1+B^-1也可逆,并求其逆矩阵.
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设矩阵A,B及A+B都可逆,证明A^-1+B^-1也可逆,并求其逆矩阵.
▼优质解答
答案和解析
A(A^-1+B^-1)B=(E+AB^-1)B=B+A
(A^-1+B^-1)B=(A^-1)(A+B)
(A^-1+B^-1)B[(A^-1)(A+B)]^-1=E
(A^-1+B^-1)B(A+B)^-1A=E
所以A^-1+B^-1可逆,且逆为B(A+B)^-1A
E为单位阵
(A^-1+B^-1)B=(A^-1)(A+B)
(A^-1+B^-1)B[(A^-1)(A+B)]^-1=E
(A^-1+B^-1)B(A+B)^-1A=E
所以A^-1+B^-1可逆,且逆为B(A+B)^-1A
E为单位阵
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