已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=62，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=12CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点．（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关

Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6√(2)，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=(1)/(2)CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点．
（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：______，______；
（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF=2FD时，求证：∠CNE=45°；
（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得∠CNE=45°？若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）AE⊥CM，AE=CM
理由：延长AE交CM于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB=6√(2)，CD⊥AB于D，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD=CD=(1)/(2)AB．
∵M是DB的中点，
∴BM=(1)/(2)BD．
∵DE=(1)/(2)CD，
∴DE=BM．
在△AEC和△CMB中
∵

AC＝CB

∠ACE＝∠B

CE＝BM

，
∴△AEC≌△CMB（SAS），
∴AE=CM，∠CAE=∠BCM．
∵∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠ACM+∠CAE=90°，
∴∠ACH=90°．
∴AH⊥CM．
∴AE⊥CM，AE=CM；
（2）如图1，过点A作AG⊥AB，且AG=BM，连接CG、FG，延长AE交CM于H．
∵∠ACB=90°，CA=CB=6√(2)，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=√(CA2+CB2)=12．
∴∠GAC=∠MBC=45°．
∵CD⊥AB，
∴CD=AD=BD=(1)/(2)AB=6．
∵M是DB的中点，
∴DM=BM=3．
∴AG=3．
∵AF=2FD，
∴AF=4，DF=2，
∴FM+DM=2+3=5．
∵AG⊥AF，
∴FG=√(AG2+AF2)＝

作业帮用户 2016-11-30

问题解析

（1）延长AE交CM于点H，由等腰直角三角形的性质就可以得出△AEC≌△CMB，就可以得出∠CAE=∠BCM而得出结论；
（2）如图1，过点A作AG⊥AB，且AG=BM，连接CG、FG，延长AE交CM于H．先由等腰三角形的性质和勾股定理就可以得出FG=FM，就可以得出△CAG≌△CBM，就有CG=CM，∠ACG=∠BCM．得出∠MCG=90°．进而证明△FCG≌△FCM就可以得出结论；
（3）如图2，作BH⊥CN于H，由条件就可以得出∠ANB=∠NCB，可以得出△ADE∽△CHB，就可以求出BH的值，再得出△CDF∽△BHF就可以求出DF的值，进而求出AF的值．

名师点评

本题考点：

全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：

本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等和相似是关键．

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