已知sn=pn^2+qn+r(其中p,q,r是常数,p不等于0),数列an一定是等差数列吗?如果是,首项和公差分别是什么?结论和我的相同.我知识不肯定所以问.

Question

已知sn=pn^2+qn+r (其中p,q,r是常数,p不等于0),数列an一定是等差数列吗?如果是,首项和公差分别是什么?
结论和我的相同.我知识不肯定所以问.

Answer 1

n=1时,a1=S1=p+q+r
n=2时,S2=a1+a2=p+q+r+a2=4p+2q+r
a2=3p+q
n≥2时,
Sn=pn²+qn+r S(n-1)=p(n-1)²+q(n-1)+r
an=Sn-S(n-1)=pn²+qn+r-p(n-1)²-q(n-1)-r=p(2n-1)+q
a(n+1)=p[2(n+1)-1]+q=p(2n+1)+q
a(n+1)-an=p(2n+1)+q-p(2n-1)-q=2p,为定值.
数列{an}从第2项开始,是以3p+q为首项,2p为公差的等差数列.
a2-a1=3p+q-(p+q+r)=2p-r
当r=0时,a2-a1=2p,数列{an}是等差数列；
当r≠0时,a2-a1=2p-r≠2p,数列从第2项开始,才成等差数列,数列{an}不是等差数列.

综上,得数列{an}不一定是等差数列,只有当r=0时,数列{an}才是等差数列.