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如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,P的圆心P在线段BC上,且P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过圆心P,则k=.

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如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2, P的圆心P在线段BC上,且 P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=
k
x
(k≠0)的图象经过圆心P,则k=___.
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▼优质解答
答案和解析
作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设 P的半径为r,
∵ P与边AB,AO都相切,作业帮
∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB=
102-82
=6,
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
CH
OB
=
AC
AB
,即
CH
6
=
2
10
,解得CH=
6
5

∴AH=
AC2-CH2
=
22-(
6
5
)2
=
8
5

∴BH=10-
8
5
=
42
5

∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
BE
BH
=
PE
CH
,即
10-(2+r)
42
5
=
r
6
5
,解得r=1,
∴OD=OC-CD=6-1=5,
∴P(5,-1),
∴k=5×(-1)=-5.
故答案为-5.