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(2004•衢州)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)B(-2,0),C(m,0),其中m>0.以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连接EF.(1)求证:△AFE∽
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(2004•衢州)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)B(-2,0),C(m,0),其中m>0.以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连接EF.
(1)求证:△AFE∽△ABC;
(2)是否存在m的值,使得△AEF是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况.试求点C1(,0)移动到点C2(3,0)点F移动的行程.
(1)求证:△AFE∽△ABC;
(2)是否存在m的值,使得△AEF是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况.试求点C1(,0)移动到点C2(3,0)点F移动的行程.
▼优质解答
答案和解析
(1)利用切线长定理,得到相应线段成比例,再加上公共角相等,可得到两三角形相似;
(2)按边相等的不同情况讨论;
(3)按CO为直径,则∠OFC=90°,可得到∠AFO=90°,并且OA为定值,即可得到点F移动的行程为以OA的直径上的一段弧长.
(1)证明:∵AO是两圆内的公切线,
∴AO2=AE•AB=AF•AC,
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC;
(2)【解析】
∵△AFE∽△ABC,
∴==,
当AF=AE,即AB=AC时,OC=OB
∴m=2,
当AE=FE,即AB=BC时,=2+m,
∴m=-2
当AF=FE,即AC=BC时,9+m2=(2+m)2,
解得m=
∴m的值为2或-2或;
(3)【解析】
∠AFO始终为直角,且OA为定值
∴OA=3,OC1=,
∴tan∠OAC1=,
∴∠OAC1=30°,
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为 .
(2)按边相等的不同情况讨论;
(3)按CO为直径,则∠OFC=90°,可得到∠AFO=90°,并且OA为定值,即可得到点F移动的行程为以OA的直径上的一段弧长.
(1)证明:∵AO是两圆内的公切线,
∴AO2=AE•AB=AF•AC,
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC;
(2)【解析】
∵△AFE∽△ABC,
∴==,
当AF=AE,即AB=AC时,OC=OB
∴m=2,
当AE=FE,即AB=BC时,=2+m,
∴m=-2
当AF=FE,即AC=BC时,9+m2=(2+m)2,
解得m=
∴m的值为2或-2或;
(3)【解析】
∠AFO始终为直角,且OA为定值
∴OA=3,OC1=,
∴tan∠OAC1=,
∴∠OAC1=30°,
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为 .
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