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平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C,关于曲线C的几何性质,给出下列四个结论:①曲线C的方程为x2=4y;②曲线C关于y轴对称
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平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C,关于曲线C的几何性质,给出下列四个结论:
①曲线C的方程为x2=4y; ②曲线C关于y轴对称
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2; ④若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4
其中,所有正确结论的序号是___.
①曲线C的方程为x2=4y; ②曲线C关于y轴对称
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2; ④若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4
其中,所有正确结论的序号是___.
▼优质解答
答案和解析
设P(x,y)是曲线C上的任意一点,
因为曲线C是平面内到定点F(0,1)
和定直线l:y=-1的距离之和等于4的点的轨迹,
所以|PF|+|y+1|=4.即
+|y+1|=4,
解得y≥-1时,y=2-
x2,当y<-1时,y=
x2-2;
显然①不正确;
②曲线C关于y轴对称;正确.
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;正确.
④若点P在曲线C上,|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,则1≤|PF|≤4.正确.
故答案为:②③④.
因为曲线C是平面内到定点F(0,1)
和定直线l:y=-1的距离之和等于4的点的轨迹,
所以|PF|+|y+1|=4.即
x2+(y-1)2 |
解得y≥-1时,y=2-
1 |
4 |
1 |
12 |
显然①不正确;
②曲线C关于y轴对称;正确.
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;正确.
④若点P在曲线C上,|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,则1≤|PF|≤4.正确.
故答案为:②③④.
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