（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1)求椭圆的方程；(2)

Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】 (1)  (2) 满足条件的点有两个 【解析】 试题分析：(1) 解法1：设椭圆的方程为 依题意:    解得:    ∴ 椭圆的方程为. 解法2：设椭圆的方程为， 根据椭圆的定义得，即，  ∵，  ∴.   ∴ 椭圆的方程为. (2)解法1：设点 ，则， ， ∵三点共线 ∴.   ∴                    化简得：. ①  由 即得.  ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 .    ③         设点，由②③得：， 而，则 . 代入②得 ，    则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为. 若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ∵直线经过椭圆内一点 ∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. 解法2：设点 ，， 由 即得.  ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即.  ∵， ∴ . ∵点在切线上   ∴.       ①   同理， . ②     综合①、②得，点的坐标都满足方程. ∵经过的直线是唯一的， ∴直线的方程为，   ∵点在直线上，     ∴.  ∴点的轨迹方程为.   若 ，则点在椭圆上，又在直线上， ∵直线经过椭圆内一点 ∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. 解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 设 则.  由 即得. ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ∵， ∴.                                 同理 得抛物线在点处的切线的方程为. 由解得                     ∴.  ∵ ∴点在椭圆上. ∴. 化简得.(*) 由 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. 考点：椭圆抛物线方程及性质，直线与椭圆抛物线相交的应用 点评：求椭圆方程采用了待定系数法与定义法，其中待定系数法是常用的方法，而利用定义求解能使一些题目的计算量较小很多；第二问在直线与圆锥曲线相交的背景下常联立方程，利用韦达定理求解