设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫π0f（x）dx=0，∫π0f(x)cosxdx＝0，试证：（0，π）内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0．

Question

设函数f（x）在[0，π]上连续，且

∫

π 0

f（x）dx=0，

∫

π 0

f(x)cosxdx＝0，试证：（0，π）内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂，使f（ξ₁）=f（ξ₂）=0．

Answer 1

证明：令F(x)＝

∫

x 0

f(t)dt，0≤x≤π，有F（0）=0，
由题设有F（π）=0．
又由题设

∫

π 0

f(x)cosxdx＝0，
用分部积分有
0＝

∫

π 0

f(x)cosxdx＝

∫

π 0

cosxdF(x)=F(x)cosx

|

π 0

+

∫

π 0

F(x)sinxdx=

∫

π 0

F(x)sinxdx
由积分中值定理知，存在ξ∈（0，π）使
0＝

∫

π 0

F(x)sinxdx＝F(ξ)sinξ•(π−0)
因ξ∈（0，π），sinξ≠0，所以推知存在ξ∈（0，π），使得F（ξ）=0．
再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F（x）用罗尔定理，推知存在ξ₁∈（0，ξ），ξ₂∈（ξ，π），使
F'（ξ₁）=0，F'（ξ₂）=0，即
f（ξ₁）=0，f（ξ₂）=0．