如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；(Ⅲ)求点C到平面ABD的

Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

　　(Ⅰ)设正三棱柱－的侧棱长为．取中点，连．

　　是正三角形，．

　　又底面侧面，且交线为．

　　侧面．

　　连，则直线与侧面所成的角为．……………2分

　　在中，，解得．…………3分

　　此正三棱柱的侧棱长为．……………………4分

　　注：也可用向量法求侧棱长．

　　(Ⅱ)解法1：过作于，连，

　　侧面．

　　为二面角的平面角．……………………………6分

　　在中，，又

　　，．

　　又

　　在中，．…………………………8分

　　故二面角的大小为．…………………………9分

　　解法2：(向量法，见后)

　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，平面平面，且交线为，过作于，则平面．…………10分

　　在中，．…………12分

　　为中点，点到平面的距离为．…………13分

　　解法2：(思路)取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

　　解法3：(思路)等体积变换：由可求．

　　解法4：(向量法，见后)

　　题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法：

　　(Ⅱ)解法2：如图，建立空间直角坐标系．

　　则．

　　设为平面的法向量．

　　由得．

　　取…………6分

　　又平面的一个法向量…………7分

　　．…………8分

　　结合图形可知，二面角的大小为．…………9分

　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，…………10分

　　点到平面的距离＝．13分