设函数f（x）=（x-a）2+（lnx2-2a）2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤45成立，则实数a值是（）A.15B.25C.12D.1

Question

设函数f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²，其中x>0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）≤

(4)/(5)成立，则实数a值是（　　）

A.

(1)/(5)

B.

(2)/(5)

C.

(1)/(2)

D. 1

Answer 1

函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx²）与动点N（a，2a）之间距离的平方，
动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=2lnx得，y'=(2)/(x)=2，解得x=1，
∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=(2)/(√(5))=(2√(5))/(5)，
则f（x）≥(4)/(5)，
根据题意，要使f（x₀）≤(4)/(5)，则f（x₀）=(4)/(5)，此时N恰好为垂足，
由k_MN=(2a-0)/(a-1)=(2a)/(a-1)=-(1)/(2)，解得a=(1)/(5)．
故选：A．