已知向量，，（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf′（x）．（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数g（x）=-x2+2ax（a

Question

已知向量，，（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x²+2ax（a为正实数），若对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）由已知可得：f（x）=，
∴，
由已知，，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）=，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由，
由
∴F（x）的增区间为，减区间为…（5分）
（II）∵对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，当时，F（x）取得最大值．…（8分）
对于g（x）=-x²+2ax，其对称轴为x=a
当0＜a≤1时，，
∴，从而0＜a≤1…（10分）
当a＞1时，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴，从而…（12分）
综上可知：…（13分）