若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为（填上所有正确的序

Question

若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为______（填上所有正确的序号）①y=x²-|x|；②|x|+1＝√(4−y2)③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1⑤y=xcosx．

Answer 1

①y=x²-|x|=

(x−(1)/(2))2−(1)/(4)

(x+(1)/(2))2−(1)/(4)

； 在 x=(1)/(2) 和 x=-(1)/(2) 处的切线都是  y=-(1)/(4)，故①有自公切线．
②|x|+1＝√(4−y2)  即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此函数没有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=(3)/(5)，sin∅=(4)/(5)，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，
故此函数有自公切线．
 ④x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线．
 ⑤y=xcosx 的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线．
故答案为：①③⑤．