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用中值定理证明tanx>=x,x在[0,π/2)
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用中值定理证明 tanx>=x ,x在[0,π/2)
▼优质解答
答案和解析
证：
设f(x)=tanx-x,x∈[0,π/2)
根据中值定理：f(x)-f(0)=f '(a)(x-0) ,0＜a＜x
因为f(0)=0,f '(x)=sec²x-1
故 tanx-x=(sec²a-1)a
因为 0≤a＜π/2
所以 sec²a-1=1/cos²a-1≥0
故tanx-x≥0
即tanx≥x
设f(x)=tanx-x,x∈[0,π/2)
根据中值定理：f(x)-f(0)=f '(a)(x-0) ,0＜a＜x
因为f(0)=0,f '(x)=sec²x-1
故 tanx-x=(sec²a-1)a
因为 0≤a＜π/2
所以 sec²a-1=1/cos²a-1≥0
故tanx-x≥0
即tanx≥x
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