设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2−x−y，0＜x＜1，0＜y＜10，其他．（1）求P（X＞2Y）；（2）求Z=X+Y的概率密度fZ（Z）．

Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

2−x−y， 0＜x＜1，0＜y＜1

   0，        其他

．
（1）求P（X＞2Y）；
（2）求Z=X+Y的概率密度f_Z（Z）．

Answer 1

（I）P{X＞2Y}=

∬

x＞2y

f(x，y)dxdy=

∫

(1)/(2) 0

dy

∫

1 2y

(2−x−y)dx=(7)/(24)．
（II） 先求Z的分布函数：
F_Z（z）=P（X+Y≤z）=

∬

x+y≤z

f(x，y)dxdy，
当z＜0时，F_Z（z）=0；
当0≤z＜1时，F_Z（z）=

∫

z 0

dy

∫

z−y 0

(2−x−y)dx=z2−(1)/(3)z3；
当1≤z＜2时，

F_Z（z）=1-

∬

D1

f(x，y)dxdy=1-

∫

1 z−1

dy

∫

1 z−y

(2−x−y)dx=1-(1)/(3)（2-z）³；
当z≥2时，F_Z（z）=1．
故Z=X+Y的概率密度为
f_Z（z）=F_Z′（z）=

2z−z2，    0＜z＜1

(2−z)2，   1≤z＜2

0，             其他

．