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设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=2−x−y,0<x<1,0<y<10,其他.(1)求P(X>2Y);(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(Z).
题目详情
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=
.
(1)求P(X>2Y);
(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(Z).
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(1)求P(X>2Y);
(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(Z).
▼优质解答
答案和解析
(I)P{X>2Y}=
f(x,y)dxdy=
dy
(2−x−y)dx=
.
(II) 先求Z的分布函数:
FZ(z)=P(X+Y≤z)=
f(x,y)dxdy,
当z<0时,FZ(z)=0;
当0≤z<1时,FZ(z)=
dy
(2−x−y)dx=z2−
z3;
当1≤z<2时,
FZ(z)=1-
f(x,y)dxdy=1-
dy
(2−x−y)dx=1-
(2-z)3;
当z≥2时,FZ(z)=1.
故Z=X+Y的概率密度为
fZ(z)=FZ′(z)=
.
∬ |
x>2y |
∫ |
0 |
∫ | 1 2y |
7 |
24 |
(II) 先求Z的分布函数:
FZ(z)=P(X+Y≤z)=
∬ |
x+y≤z |
当z<0时,FZ(z)=0;
当0≤z<1时,FZ(z)=
∫ | z 0 |
∫ | z−y 0 |
1 |
3 |
当1≤z<2时,
FZ(z)=1-
∬ |
D1 |
∫ | 1 z−1 |
∫ | 1 z−y |
1 |
3 |
当z≥2时,FZ(z)=1.
故Z=X+Y的概率密度为
fZ(z)=FZ′(z)=
|
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