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已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.若-1≤f(x)≤1对任意x∈[0,1]恒成立,则a+b的取值范围是.
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已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.若-1≤f(x)≤1对任意x∈[0,1]恒成立,则a+b的取值范围是______.
▼优质解答
答案和解析
对函数求导可得,f′(x)=12ax2-2b,
①当b≤0时,f′(x)>0,在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=3a-b=|2a-b|﹢a;
②当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不定,函数在[0,1]上的单调性不定,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a-b|﹢a;
∴函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
令g(x)=-4ax3+2bx+a-b,
则g′(x)=-12ax2+2b,
当b≤0时,g′(x)<0在0≤x≤1上恒成立,此时g(x)的最大值为:g(0)=a-b<3a-b=|2a-b|﹢a;
当b>0时,g′(x)在0≤x≤1上的正负性不能判断,g(x)max=max{g,g(1)}≤|2a-b|﹢a;
∴函数g(x)在0≤x≤1上的最大值≤|2a-b|﹢a.
即f(x)+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立.
由以上讨论知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比-(|2a-b|﹢a)要大.
∵-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴,则
或
可行域如图所示,目标函数为z=a+b.由图可知,当z=a+b经过点A(1,2)时取得最大值3,大当经过点C(0,-1)时取得最小值-1,但是C不知可行域内
∴a+b的取值范围为(-1,3]
故答案为:(-1,3]
①当b≤0时,f′(x)>0,在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=3a-b=|2a-b|﹢a;
②当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不定,函数在[0,1]上的单调性不定,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a-b|﹢a;
∴函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
令g(x)=-4ax3+2bx+a-b,
则g′(x)=-12ax2+2b,
当b≤0时,g′(x)<0在0≤x≤1上恒成立,此时g(x)的最大值为:g(0)=a-b<3a-b=|2a-b|﹢a;
当b>0时,g′(x)在0≤x≤1上的正负性不能判断,g(x)max=max{g,g(1)}≤|2a-b|﹢a;
∴函数g(x)在0≤x≤1上的最大值≤|2a-b|﹢a.
即f(x)+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立.
由以上讨论知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比-(|2a-b|﹢a)要大.
∵-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴,则
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可行域如图所示,目标函数为z=a+b.由图可知,当z=a+b经过点A(1,2)时取得最大值3,大当经过点C(0,-1)时取得最小值-1,但是C不知可行域内
∴a+b的取值范围为(-1,3]
故答案为:(-1,3]
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