如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：△ADC≌△FDB；（2）求证：CE=12BF；（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论

Question

如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．

（1）求证：△ADC≌△FDB；
 （2）求证：CE=(1)/(2)BF；
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论；
（4）猜想BG与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC和△FDB中，

∠ACD＝∠DFB

CD＝BD

∠ADC＝∠BDF

，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；
（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=(1)/(2)BF；
（3）△ECG为等腰直角三角形．
∵点H是BC边的中点，
∴GH垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG为等腰直角三角形；
（4）GB=√(2)CE；
∵△ECG为等腰直角三角形，
∴GC=√(2)CE，
∵GC=GB，
∴GB=√(2)CE．