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求(1+x^2)dy+2xydx=cotxdx的通解
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求(1+x^2)dy+2xydx=cotxdx的通解
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答案和解析
(1+x²)dy+(2xy-cotx)dx=0
∂(1+x²)/∂x=∂(2xy-cotx)/∂y=2x
此为全微分方程
∫(1+x²)dy=y+x²y+Φ(x)
∫(2xy-cotx)dx=x²y-ln|sinx|+Ψ(y)
u(x,y)=y+x²y+Φ(x)=x²y-ln|sinx|+Ψ(y)
比较系数得Φ(x)=-ln|sinx|,Ψ(y)=y
u(x,y)=y+x²y-ln|sinx|
于是原方程通解为y+x²y-ln|sinx|=C
∂(1+x²)/∂x=∂(2xy-cotx)/∂y=2x
此为全微分方程
∫(1+x²)dy=y+x²y+Φ(x)
∫(2xy-cotx)dx=x²y-ln|sinx|+Ψ(y)
u(x,y)=y+x²y+Φ(x)=x²y-ln|sinx|+Ψ(y)
比较系数得Φ(x)=-ln|sinx|,Ψ(y)=y
u(x,y)=y+x²y-ln|sinx|
于是原方程通解为y+x²y-ln|sinx|=C
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