已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是首项为23，公比为-13的等比数列，求数列{bn}的通项公式；（2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，

Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若数列{a_n}是首项为(2)/(3)，公比为-(1)/(3)的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求证：数列{a_n}满足a_n+a_n+2=2a_n+1，并写出数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设c_n=(an)/(bn)，
求证：数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

Answer 1

（1）因为数列{a_n}是首项为(2)/(3)，公比为-(1)/(3)的等比数列
所以an=(2)/(3)•(-(1)/(3))n-1，Sn=(1-(-(1)/(3))n)/(2)…（3分）
所以bn=(2Sn)/(an+2)=(1)/(2)…（4分）
（2）若b_n=n，则2S_n=（a_n+2）n，所以2S_n+1=（n+1）（a_n+1+2）
所以2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+2，即（n-1）a_n+1+2=na_n…（5分）
所以na_n+2+2=（n+1）a_n+1
所以na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n
所以a_n+a_n+2=2a_n+1…（7分）
又由2S₁=a₁+2，得：a₁=2…（8分）
所以数列{a_n}是首项为2公差为1的等差数列
所以a_n=n+1…（10分）
（3）证明：由（2）知cn=(n+1)/(n)，
对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，且t，k∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，
只需(n+1)/(n)=(k+1)/(k)•(t+1)/(t)…（12分）
只需t=(n(k+1))/(k-n)…（14分）
取k=n+1，则t=n（n+2）…（16分）
所以对于数列{c_n}中的任意一项cn=(n+1)/(n)，
都存在C_n+1=(n+2)/(n+1)与C_n（n+2）=(n2+2n+1)/(n2+2n)，使得c_n=c_n+1•c_n（n+2），
即数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积…（18分）