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在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,.(1)若△ABC的面积等于,试判断△ABC的形状并说明理由(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求a,b.
题目详情
在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,.
(1)若△ABC的面积等于,试判断△ABC的形状并说明理由
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求a,b.
(1)若△ABC的面积等于,试判断△ABC的形状并说明理由
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求a,b.
▼优质解答
答案和解析
(1)由c与cosC的值,利用余弦定理列出关系式,再由三角形的面积公式,以及已知的面积与sinC的值,求出ab=4,两关系式联立组成方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可判断出三角形为等腰三角形;
(2)由sinC=sin(A+B),代入已知的等式中,右边利用二倍角的正弦函数公式化简,整理后分cosA=0和cosA不为0两种情况考虑,分别求出a与b的值即可.
【解析】
(1)∵c=2,cosC=,
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得:a2+b2-ab=4①,
∵S△ABC=absinC=,∴ab=4②,
联立①②解得:a=b=2,
则△ABC为等腰三角形;
(2)由题意得:sin(A+B)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,
当cosA=0,即A=时,B=,a=,b=;
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a,
联立方程组得:,解得:.
(2)由sinC=sin(A+B),代入已知的等式中,右边利用二倍角的正弦函数公式化简,整理后分cosA=0和cosA不为0两种情况考虑,分别求出a与b的值即可.
【解析】
(1)∵c=2,cosC=,
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得:a2+b2-ab=4①,
∵S△ABC=absinC=,∴ab=4②,
联立①②解得:a=b=2,
则△ABC为等腰三角形;
(2)由题意得:sin(A+B)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,
当cosA=0,即A=时,B=,a=,b=;
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a,
联立方程组得:,解得:.
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