已知函数ft（x）=（x-t）2-t（t∈R），设a＜b，f（x）=fa(x)，fa(x)＜fb(x)fb(x)，fa(x)≥fb(x)，若函数y=f（x）+x+a-b有三个零点，则b-a的值为（）A．2+5B．2+3C．5−2D．2-3

Question

已知函数f_t（x）=（x-t）²-t（t∈R），设a＜b，f（x）=

fa(x)，fa(x)＜fb(x)

fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函数y=f（x）+x+a-b有三个零点，则b-a的值为（　　）

A．2+√(5)
B．2+√(3)
C．√(5−2)
D．2-√(3)

Answer 1

作函数f（x）的图象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得，
（x-a）²-a=（x-b）²-b，解得x=(a+b−1)/(2)，此时y=（(a+b−1)/(2)-a）²-a=（(b−a−1)/(2)）²-a，
即交点坐标为（(a+b−1)/(2)，（(b−a−1)/(2)）²-a），
若y=f（x）+x+a-b有三个零点，
即f（x）+x+a-b=0有三个根，
即f（x）=-x+b-a，
分别作出f（x）与y=-x+b-a的图象如图：
要使函数y=f（x）+x+a-b有三个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a有三个不同的交点．
由图象知，点P在l上，
所以（(b−a−1)/(2)）²-a=-(a+b−1)/(2)+b-a，
即（(b−a−1)/(2)）²=(b−a+1)/(2)，
设t=b-a，则t＞0，
则方程等价为((t−1)2)/(4)＝(t+1)/(2)，即t²-4t-1=0，
即t=(4±√(20))/(2)＝2±√(5)，
∵t＞0，∴t=2+√(5)，即b-a=2+√(5)，
故选：A．