（2009•台州一模）已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既

Question

（2009•台州一模）已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)＝(f(x))/(x)(x∈M)的零点个数．

Answer 1

（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)＝3ax2+b，

f′(−1)＝3a+b＝0

f(−1)＝−a−b+1＝3

，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)＝(f(x))/(x)＝x2+(1)/(x)−3，g′(x)＝2x−(1)/(x2)，
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(−2)＝(1)/(2)，g(−1)＝−3
∴函数g(x)＝(f(x))/(x)，x∈M的零点有且仅有1个．