?设函数f(x)=x+a/x+1,x∈[0+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值(2)当0＜a＜1时,求函数的最小值

Question

?设函数f(x)=x+a/x+1,x∈[0+∞). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0＜ a＜1时,求函数的最小值

Answer 1

解1由a=2
知f（x）=x+2/(x+1)
=（x+1）+2/(x+1)-1
≥2√（x+1）×2/(x+1)-1
=2√2-1
当且仅当x+1=2/(x+1)时,等号成立
即x=√2-1时,等号成立
故a=2时,函数的最小值为2√2-1
2
f（x）=x+a/(x+1)
=（x+1）+a/(x+1)-1（x∈[0+∞).）
令t=x+1,则t∈[1+∞).
则原函数变为y=g（t）=t+a/t-1 ,t∈[1,+∞).
又由0＜ a＜1,则0＜ √a＜1
且y=g（t）=t+a/t-1 在t属于[√a,+∞)是增函数
故t=1时,y=g（t）有最小值g（1）=a
故
f（x）=x+a/(x+1)
=（x+1）+a/(x+1)-1在x∈[0+∞)上的最小值为a.