已知函数f（x）=log2+log2（x﹣1）+log2（p﹣x）．（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；（2）求函数f（x）的定义域与值域．

Question

已知函数f（x）=log ₂ +log ₂ （x﹣1）+log ₂ （p﹣x）．
（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的定义域与值域．

Answer 1

（1）由题意，可得 ，∴1＜x＜7
又∵函数f（x）=log ₂ +log ₂ （x﹣1）+log ₂ （7﹣x）
=log ₂ （x+1）（7﹣x）=log ₂ [﹣（x﹣3）2+16]．
令g（x）=﹣（x﹣3） ² +16，
由于函数的定义域为{x|1＜x＜7}，则g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，
所以函数f （x）的值域为（﹣∞，4]
（2）由题意，可得 ，∴x＞1且x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
函数f（x）=log ₂ +log ₂ （x﹣1）+log ₂ （p﹣x）
=log ₂ （x+1）（p﹣x）=log ₂ [﹣x2+（p﹣1）x+p]．
令t=﹣x ² +（p﹣1）x+p= =g（x）
①当 ，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，
g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，
∴f（x）＜1+log ₂ （p﹣1），函数f（x）的值域为（﹣∞，log2（p﹣1））；
②当 ，即p≥3时，g（p）＜t＜g（ ），即0＜t≤ ，
∴f（x）≤2log ₂ （p+1）﹣2，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log ₂ （p+1）﹣2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，log ₂ （p﹣1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log ₂ （p+1）﹣2）．