如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1

Question

如图，在三棱柱ABC­A ₁ B ₁ C ₁ 中，AA ₁ C ₁ C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA ₁ C ₁ C，AB＝3，BC＝5.

(1)求证：AA ₁ ⊥平面ABC；
(2)求二面角A ₁ ­BC ₁ ­B ₁ 的余弦值；
(3)证明：在线段BC ₁ 上存在点D，使得AD⊥A ₁ B，并求 的值．

Answer 1

(1)见解析   (2)     (3) 见解析

(1)证明：因为四边形AA ₁ C ₁ C为正方形，所以AA ₁ ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA ₁ C ₁ C，且AA ₁ 垂直于这两个平面的交线AC，所以AA ₁ ⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA ₁ ⊥AC，AA ₁ ⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，
所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A ₁ (0,0,4)，B ₁ (0,3,4)，C ₁ (4,0,4)，

＝(0,3，－4)， ＝(4,0,0)．
设平面A ₁ BC ₁ 的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B ₁ BC ₁ 的一个法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈 n，m〉＝ ＝ .
由题知二面角A ₁ ­BC ₁ ­B ₁ 为锐角，
所以二面角A ₁ ­BC ₁ ­B ₁ 的余弦值为 .
(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC ₁ 上一点，且 ＝λ .
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以 ＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由 · ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝ .
因为 ∈[0,1]，所以在线段BC ₁ 上存在点D，
使得AD⊥A ₁ B.此时， ＝λ＝ .