已知定圆C：x2+（y-3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）如果l过圆心C，求证：l与m垂直；（Ⅱ）当|PQ|=23时，求直线l的方程；（Ⅲ）设N为圆C上的

Question

已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与圆C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）如果l过圆心C，求证：l与m垂直；
（Ⅱ）当|PQ|=2√(3)时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设N为圆C上的一个动点，求线段AN的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）因为l过圆心C，所以直线l的斜率是(3-0)/(0+1)=3
因为直线m：x+3y+6=0的斜率为-(1)/(3)，
所以直线l的斜率为3，
所以l与m垂直；
（Ⅱ）由|PQ|=2√(3)，得圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=(|1-3n|)/(√(1+n2))=1．
解得n=0，或n=(3)/(4)，
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．
（Ⅲ）设N（a，b），M（x，y），则2x=a-1，2y=b，
∴a=2x+1，b=2y，
∵a²+（b-3）²=4，
∴（2x+1）²+（2y-3）²=4
∴线段AN的中点M的轨迹方程是（x+(1)/(2)）²+（y-(3)/(2)）²=1．