函数f（x）=ax-xlna（0<a<1），若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

函数f（x）=a^x-xlna（0<a<1），若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

函数的导数f′（x）=a^xlna-lna=lna•（a^x-1），
∵0由f′（x）>0得lna•（a^x-1）>0，即a^x-1<0，则x>0，此时函数单调递增，
由f′（x）<0得lna•（a^x-1）<0，即a^x-1>0，则x<0，此时函数单调递减，
即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，
当x=1，则f（1）=a-lna
当x=-1，则f（-1）=a^-1+lna，
则f（1）-f（-1）=a-(1)/(a)-2lna，
设g（a）=a-(1)/(a)-2lna，
则g′（a）=1+(1)/(a2)-(2)/(a)=（(1)/(a)-1）²>0，
则g（a）在（0，1）上为增函数，
则g（a）<g（1）=1-1-2ln1=0，
即g（a）<0，
则f（1）-f（-1）<0，
即f（1）<f（-1），
即函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为f（-1）=a^-1+lna，
若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，
则f（-1）=a^-1+lna≤e-1，
即(1)/(a)+lna≤e-1，
设h（a）=(1)/(a)+lna，
则h′（a）=-(1)/(a2)+(1)/(a)=-（(1)/(a)-(1)/(2)）²+(1)/(4)，
∵0<a<1，∴(1)/(a)>1，
∴当h′（a）<h′（1）=0，
即h（a）=(1)/(a)+lna在0<a<1上为减函数，
由(1)/(a)+lna=e-1得a=(1)/(e)．
则(1)/(a)+lna≤e-1等价为h（a）≤h（(1)/(e)），
即(1)/(e)≤a<1，
故答案为：[(1)/(e)，1）．